miércoles, 23 de julio de 2008

ECUACIONES CUADRATICAS

OBJETIVO
Al terminar el tema estaras en capacidad de definir que es una ecuacion cuadratica, relacionarla con las funciones cuadraticas, encontrar su solucion por diferentes metodos y utilizarlas en un contexto real para resolver problemas de aplicacion



¿QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA?

CONCEPTO DE ECUACION CUADRATICA

Es una expresion o igualdad de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a debe se diferente de cero y ademas el mayor exponente de x debe ser 2. Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadraticas y otros de no cuadraticas.

CUADRATICAS NO CUADRATICAS

1. 4x2 +5x - 2 = 0 1. 5x3 + 2x2 - 5 = 0

2. 3x - 2 + x2 = 4 2. x3 + 4x = 4x2 - 5

3. 2x2 - 8 = 1 3. 2/x2 + 3 = -2 + 5x

4. 5y2 -4y = 4 4. 5/y + 3/y2 = 2 - 3y2
2 2
5. ( x - 3 ) + ( x - 5 ) = 6 5. 5x - 3 = 53

SOLUCION DE UNA ECUACION CUADRATICA

Encontrar la solucion de una ecuacion cuadratica es hallar analiticamente los valores que hacen posible la igualdad, lo cual hace necesario aplicar algunos metodos especificos.

METODOS DE SOLUCION PARA UNA ECUACION CUADRATICA

Los metodos que se utilizan con mas frecuencia son :

a. Por factorizacion

b. Completando cuadrado.

c. Por la formula general.

De estos tres metodos los mas utilizados son el a y el c ya que son sencillos de aplicar y no requieren de mucho procedimiento y permiten en forma muy rapida encontrar la solucion para una ecuacion cuadratica.

a. POR FACTORIZACION
En este metodo, despues de igualar la ecuacion a cero , se procede a factorizar la expresion utilizando para ello los metodos tradicionales de factorizacion, luego igualamos c/u de los factores a cero y procedemos a despejar la variable, determinando asi el conjunto solucion. Veamos algunos ejemplos.
Encontremos el conjunto solucion para c/u de las s/tes ecuaciones cuadraticas.

1. y2 + 3y + 2 = 0 --> ( y + 2 ) ( y + 1 ) = 0
--> y + 2 = 0 --> y = - 2
y + 1 = 0 --> y = - 1

2. 6x2 + 19x +10 = 0 --> ( 3x + 2 ) ( 3x + 5 ) = 0
--> 3x + 2 = 0 --> x = - 2/3
--> 3x + 5 = 0 --> x = -5/3

3. 8z2 + 14 = 12z +10 - z2 --> 8z2 + z2 - 12z + 14 - 10 = 0
--> 9z2 - 12z + 4 = 0
--> ( 3z - 2 ) ( 3z - 2 ) = 0
--> 3z - 2 = 0 --> z = 2/3

b. SOLUCION POR LA FORMULA GENERAL

Este metodo se utiliza con mucha frecuencia ya que se puede aplicar a cualquier ecuacion cuadratica. Veamos la formula general y resolvamos algunos ejercicios.

FORMULA GENERAL.





En donde a es el coeficiente de la variable que esta elevada al exponente 2. b es el coeficiente del termino o variable lineal c es la constante.
Es importante recordar que antes de hallar los coeficientes a,b y c . Debemos igualar la ecuacion a cero.

Veamos algunos ejemplos.

1. 4x2 - 10x - 8 = x2 - 3x - 10 --> 4x2 - x2 10x + 3x + 10 = 0
--> 3x2 - 7x + 2 = 0
--> a = 3 , b = -7 , c = 2.

Al reemplazar en la formula general obtenemos : x = 2 y x = 1/3

2. x2 - 9 = 0 --> a = 1 , b = 0 , c = -9

Al reemplazar en la formula general obtenemos : x = 3 y x = -3

EJERCICIOS DE REFUERZO

Encuentre en conjunto solucion para cada una de las s/tes ecuacipones cuadraticas

1. 4x2 + 10x = 24

2. 5x - x2 + 6 = 12

3. 4y2 - 17y = -15

4. x2 + 5 = -3x - 2x2 + 10

5. 4y2 - 4y = -1

6. 1 = x2 - 3

7. z2 + z + 1 = 0

8. x2 + 4x + 4 = 0

9. 5 + b2 = 8

10. investigar la solucion COMPLETANDO CUADRADO

NOTA: No olvides que en los libros dados como referencia bibliografica encontraras explicaciones y problemas que te ayudaran a reforzar el conocimiento sobre cada uno de los temas.




domingo, 29 de junio de 2008

CONCEPTO DE FUNCION - HISTORIA

El concepto de función tal y como hoy en día es conocido y desarrollado en los cursos básicos de matemática, surgió hasta el siglo XVIII, a diferencia del cálculo diferencial e integral que encontró su génesis un siglo antes, lo cual difiere de la forma clásica en como se presenta actualmente el cálculo, donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas e integrales. Sin dejar de lado los refuerzos respectivos.
El primer matemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue famoso y reconocido matemático e investigador en esta área Leonhard Euler; al afirmar: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes las cuales nos permiten generalizar y generalmente las representamos mediante letras o símbolos”. En la historia de las matemáticas se le da créditos al matemático suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilónica, la egipcia y la china.

LA FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es una expresión asociada a movimientos de partículas en cuya trayectoria describen una parábola o a eventos de la vida real en cualquier ámbito que tienen comportamiento similar.

Aqui se muestran algunos ejemplos graficos de movimientos parabolicos y que se pueden representar matematicamente mediante una funcion cuadratica.




cuando realizamos la grafica de una funcion cuadratica encontramos que esta se puede abrir hacia arriba o hacia abajo y que en cualquiera de los casos la expresion o funcion general es de la forma f(x) = a x2 + b x + c . Veamos algunas graficas que pueden representar a esta funcion general.

Como lo vemos en estas graficas la funcion cuadratica representa graficamente a una parabola que se abre hacia arriba o hacia abajo y que ademas puede cortar o tocar al eje x en:
a. ningun punto
b. un punto
c. en dos puntos
Es importante recordar que graficas como estas y muchas otras mas que encontramos en la cotidianidad representan eventos mediante los cuales podemos conceptualizar lo que es una función cuadrática.
A continuación se muestran algunos ejemplos prácticos que se pueden describir mediante la utilización de las funciones cuadráticas y nos dejan entre ver las múltiples aplicaciones que con estas se pueden obtener y además visualizar su importancia en el desarrollo de procesos que en muchas ocasiones pueden ser procesos productivos.
Veamos ahora algunos ejemplos que se pueden diagramar y representar mediante una funcion cuadratica la facilita la solucion del problema.
ACTIVIDAD I PARA RESOLVER

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque. Si toda la superficie tiene un area de 75 metros cuadrados y tambien es rectangular

entonces ¿ cual es el area del camino ? ¿cuales son las dimensiones de los lados del camino si el estanque se encuentra ubicado en el centro ?.

Veamos ahora un ejemplos o ejercicios resueltos y el cual se hace facil de resolver con la ayuda de la funcion cuadratica.

1. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
Miremos la tabla

Euros de Descuento 0 1 2 x

Precio 30 30-1 30 - 2 30-x

No. de Espectadores 500 500 + 100.1 500 + 100.2 500 + 100.x

Ingresos 30.500 (30-1).(500+100.1) (30-2).(500+100.2) (30-x).(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son : I (x) = (30-x).(500 + 100x) = -100x2 +2500x + 15000

Siendo x los euros de descuento, en el precio de la entrada.

Este es un ejemplo resuelto en el cual se muestra la aplicacion de la funcion cuadratica ya que nos dio una funcion de la forma ax2 + bx + c y que podriamos graficar y ver su comportamiento parabolico.

Veamos ahora la grafica de algunas funciones cuadraticas.

a. y = x2

b. y = -x2 - 2x - 3

c. y = x2 - 4x - 6





¿ Cuales son los pasos basicos para graficar una funcion cuadratica ?


1. Debemos encontrar los puntos de corte con el eje x es decir; los intersectos, raices o ceros de la funcion, para lo cual hacemos a y = 0.


2. Encontramos el vertice V (x,y) tambien conocido como maximo o minimo para lo cual hacemos a x = - b/2a o si aplicamos la derivada --> hacemos y' = 0.


3. Hacemos la tabla de datos colocando los valores que deceemos teniendo en cuenta los intersectos y el vertice.


4. Ubicamos los puntos de la tabla en el plano cartesiano y al unirlos adecuadamente obtenemos la grafica de la funcion.


ACTIVIDAD DE REFUERZO

1. Trace la grafica utilizando los pasos adecuados para cada una de las funciones.


a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)

2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).



1. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)

2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

¿ COMO INFLUYEN LOS PARAMETROS EN LA GRAFICA DE LA FUNCION CUADRATICA?


Como sabemos la funcion cuadratica es de la forma y = ax2 + bx + c . De aqui se desprende que:

a. Si a > 0. La parabola se abre hacia arriba.

b. Si a <>

c. En la medida en que a disminuye la parabola se abre mas respecto del eje y
Veamos en el caso de y = ax2 ; y = -ax2.

EJERCIOS DE APLICACION PROPUESTOS
1. Un hortelano posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?.
2. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -4x2 + 8x. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. a 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
4. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.
b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

5. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=1200-3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso.
6. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n), miles de familias lo usarán, en donde f(n)=10/9n (12-n), 0 ≤ n ≤12. Estime el número máximo de familias que usarán el producto.
7. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s=-4.9t2+58.8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?
8. El desplazamiento s de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t, está dado por s=3.2t2-16t+28.7, donde s está en metros y t en segundos. ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto desde el punto de referencia?
9. Durante una colisión, la fuerza F (en newton) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F=87t-21t2, donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza? ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza?
10. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 pies de cerca, encontrar las dimensiones del área máxima que se puede encerrar.