ECUACIONES CUADRATICAS

OBJETIVO

Al terminar el tema estaras en capacidad de definir que es una ecuacion cuadratica, relacionarla con las funciones cuadraticas, encontrar su solucion por diferentes metodos y utilizarlas en un contexto real para resolver problemas de aplicacion

¿QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA?

CONCEPTO DE ECUACION CUADRATICA

Es una expresion o igualdad de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a debe se diferente de cero y ademas el mayor exponente de x debe ser 2. Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadraticas y otros de no cuadraticas.

CUADRATICAS NO CUADRATICAS

1. 4x2 +5x - 2 = 0 1. 5x3 + 2x2 - 5 = 0

2. 3x - 2 + x2 = 4 2. x3 + 4x = 4x2 - 5

3. 2x2 - 8 = 1 3. 2/x2 + 3 = -2 + 5x

4. 5y2 -4y = 4 4. 5/y + 3/y2 = 2 - 3y2
2 2
5. ( x - 3 ) + ( x - 5 ) = 6 5. 5x - 3 = 53

SOLUCION DE UNA ECUACION CUADRATICA

Encontrar la solucion de una ecuacion cuadratica es hallar analiticamente los valores que hacen posible la igualdad, lo cual hace necesario aplicar algunos metodos especificos.

METODOS DE SOLUCION PARA UNA ECUACION CUADRATICA

Los metodos que se utilizan con mas frecuencia son :

a. Por factorizacion

b. Completando cuadrado.

c. Por la formula general.

De estos tres metodos los mas utilizados son el a y el c ya que son sencillos de aplicar y no requieren de mucho procedimiento y permiten en forma muy rapida encontrar la solucion para una ecuacion cuadratica.

a. POR FACTORIZACION
En este metodo, despues de igualar la ecuacion a cero , se procede a factorizar la expresion utilizando para ello los metodos tradicionales de factorizacion, luego igualamos c/u de los factores a cero y procedemos a despejar la variable, determinando asi el conjunto solucion. Veamos algunos ejemplos.
Encontremos el conjunto solucion para c/u de las s/tes ecuaciones cuadraticas.

1. y2 + 3y + 2 = 0 --> ( y + 2 ) ( y + 1 ) = 0
--> y + 2 = 0 --> y = - 2
y + 1 = 0 --> y = - 1

2. 6x2 + 19x +10 = 0 --> ( 3x + 2 ) ( 3x + 5 ) = 0
--> 3x + 2 = 0 --> x = - 2/3
--> 3x + 5 = 0 --> x = -5/3

3. 8z2 + 14 = 12z +10 - z2 --> 8z2 + z2 - 12z + 14 - 10 = 0
--> 9z2 - 12z + 4 = 0
--> ( 3z - 2 ) ( 3z - 2 ) = 0
--> 3z - 2 = 0 --> z = 2/3

b. SOLUCION POR LA FORMULA GENERAL

Este metodo se utiliza con mucha frecuencia ya que se puede aplicar a cualquier ecuacion cuadratica. Veamos la formula general y resolvamos algunos ejercicios.

FORMULA GENERAL.





En donde a es el coeficiente de la variable que esta elevada al exponente 2. b es el coeficiente del termino o variable lineal c es la constante.
Es importante recordar que antes de hallar los coeficientes a,b y c . Debemos igualar la ecuacion a cero.

Veamos algunos ejemplos.

1. 4x2 - 10x - 8 = x2 - 3x - 10 --> 4x2 - x2 10x + 3x + 10 = 0
--> 3x2 - 7x + 2 = 0
--> a = 3 , b = -7 , c = 2.

Al reemplazar en la formula general obtenemos : x = 2 y x = 1/3

2. x2 - 9 = 0 --> a = 1 , b = 0 , c = -9

Al reemplazar en la formula general obtenemos : x = 3 y x = -3

EJERCICIOS DE REFUERZO

Encuentre en conjunto solucion para cada una de las s/tes ecuacipones cuadraticas

1. 4x2 + 10x = 24

2. 5x - x2 + 6 = 12

3. 4y2 - 17y = -15

4. x2 + 5 = -3x - 2x2 + 10

5. 4y2 - 4y = -1

6. 1 = x2 - 3

7. z2 + z + 1 = 0

8. x2 + 4x + 4 = 0

9. 5 + b2 = 8

10. investigar la solucion COMPLETANDO CUADRADO

NOTA: No olvides que en los libros dados como referencia bibliografica encontraras explicaciones y problemas que te ayudaran a reforzar el conocimiento sobre cada uno de los temas.